中学数学「長さを求める」から学ぶ

高校受験生に繰り返し言っていることがある。

その1つが、「長さを求めなさいと言う問題は３つしか方法はない」である。

長さを求めなさいと言われて何を考えるのかというと、
1.面積や体積の利用
2.相似の利用
3.三平方の定理の利用
の３つのどれかを利用するように言っている。

垂線の長さを求めるならば、面積や体積を利用できないか疑ってかかる。
∠Ｃ＝90°の△ＡＢＣがあり、ＡＢ＝25㎝、ＢＣ＝20㎝、ＣＡ＝15㎝とする。
∠Ｃから斜辺ＡＢに下した垂線の長さＣＤを求める場合、
△ＡＢＣの面積は、２０×１５÷２＝１５０㎠となる。
また、この△ＡＢＣのＡＢを底辺として考えると、高さはＣＤとなるので、
２５×ＣＤ÷２＝１５０㎠となるので、
ＣＤ＝１２㎝となる。

求める長さを高さとして求めるので、垂線を求める時に限る。
実際の入試問題では、面積や体積の利用よりも、掃除や三平方の定理から求める場合が圧倒的に多い。
だから、垂線の場合は一応疑ってかかる程度でよい。ただし、問題の流れとして、前問に面積や体積を求める問題があると確率は高くなるので注意。

長さを求める問題のほとんどは、相似か三平方の定理を使うことになる。
相似を利用する場合は相似な三角形を、三平方の定理を利用する場合は直角三角形を問題の図から見つけ出すことが必要になる。
もし、相似な三角形も直角三角形も無ければ作る。
つまり、補助線を引くことである。
補助線は、平行に引く、結ぶ、伸ばすのどれかである。（これも繰り返し言っている。）
円は結ぶ補助線がほとんどであるが、補助線はまず平行線から引こうとすると良い。
後は、できた相似な三角形や直角三角形を使って長さを求めればよい。

相似な三角形を見つけたり作ったりする訳だが、そこで忘れてはいけないのが、三角形の相似条件。
三角形の相似条件は３つあるのだが、実践では「２組の角がそれぞれ等しい」だけ頭に入っていれば、ほとんど事は足りる。

結局、長さを求める問題は、
相似か三平方を利用する。
その場合等しい角や直角を探したり、作ったりすることになる。

したがって、『長さ』を求めるには『角度』が重要なのである。
『長さ』という言葉にとらわれて『角度』に目が向かなければ長さは求められない。


どんなことでも関係が無いことが重要だったりする。
答えを求めようと焦って周り（未来・本当に大切なことや人）が見えなくなってしまうことがある。
大きく深呼吸をして見方（方向・内外・全体）を変えてみると新たな発見が必ずあるはずだ。